[2016년 덕이고]

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[2학년(이과) 2학기 기말 미적분2]

함수 [eqn: f(x)=x^{3over2]에 대하여 [eqn: f`'(4)]의 값은? [3.9점]

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 8]

곡선 [eqn: y=e^x-1] 위의 점 [eqn: (2,```e)]에서의 접선의 방정식은? [4.0점]

④

① [eqn: y= { 1} over {e }x- { 2} over {e }+2]	② [eqn: y= { 1} over { e}x+2]

③ [eqn: y=2x+e]	④ [eqn: y=ex-e]

⑤ [eqn: y=ex+e]

정적분 [eqn: int _{3} ^{4} {1} over {x-2} dx]의 값은? [4.1점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: ln2]	③ [eqn: ln3]
④ [eqn: ln4]	⑤ [eqn: ln5]

함수 [eqn: f(x)=int(1-cosx)^2 sinx dx]에 대하여 [eqn: f(0)=1]일 때, [eqn: f left( { pi} over {2 }right)]의 값은? [4.2점]

⑤

① [eqn: 0]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 2over3]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 4over3]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(1)=1], [eqn: f`'(1)=-1]이고 함수
[eqn: F(x)= { f(x)} over {x }]일 때, [eqn: lim_h->0 { F(1+h)-F(1)} over { h}]의 값은? [4.3점]

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x)=x^3 +2x-2]의 역함수를 [eqn: f^-1 (x)]라고 할 때, [eqn: (f^-1 )'(1)]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: 1over9]	② [eqn: 1over7]	③ [eqn: 1over5]
④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: 1]

곡선 [eqn: y=e^2x] 위의 두 점 [eqn: (0,```1)], [eqn: (t,```e^2t )]에서의 두 접선이 이루는 각의 크기가 [eqn: piover4]일 때, 상수 [eqn: t]의 값은? [4.5점]

②

① [eqn: -ln6]	② [eqn: - 1over2 `ln6]	③ [eqn: {1} over {2} `ln6]
④ [eqn: ln6]	⑤ [eqn: 2ln6]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 3rmm]인 반원이 있다. 점 [eqn: rmA]부터 점 [eqn: rmP]까지는 직선을 따라 [eqn: 1rmm/초]의 속력으로 이동하고, 점 [eqn: rmP]부터 점 [eqn: rmB]까지는 원주를 따라 [eqn: rm3m/초]의 속력으로 이동한다. 점 [eqn: rmA]를 출발하여 원주 위의 한 점 [eqn: rmP]를 거쳐 점 [eqn: rmB]로 이동하는 데 걸리는 시간이 최대가 되는 [eqn: rmangleBAP =theta]라 하자. 이 때, [eqn: cos theta]의 값은? [4.5점]

⑤

① [eqn: { sqrt { 2} } over {9 }]	② [eqn: {2 sqrt {2}} over {9}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {3}]
④ [eqn: {5 sqrt {2}} over {9}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {2}} over {3}]

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (6,```1)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3]이다. 함수 [eqn: f(2x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때, 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (1,```a)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: b]이다. [eqn: a overb]의 값은? [4.6점]

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 27]

곡선 [eqn: y=2^x+1], [eqn: x]축, [eqn: x=0], [eqn: x=1]로 둘러싸인 도형의 넓이는? [4.2점]

②

① [eqn: 1overln2]	② [eqn: 2overln2]	③ [eqn: 3overln2]
④ [eqn: 1over{2ln2]	⑤ [eqn: {3} over {2ln2}]

함수 [eqn: f(x)]가 등식 [eqn: f(x)=e ^{x} +int _{0} ^{2} f(t)dt]를 만족시킬 때,
[eqn: int _{0} ^{2} f(x)dx]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: -e^2 -e]	② [eqn: -e ^{2} -1]	③ [eqn: -e ^{2} +1]
④ [eqn: e^2 -1]	⑤ [eqn: e^2 +e]

[eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]의 부정적분을 [eqn: F(x)]라고 할 때, [eqn: F(x)=xf(x)-lnx], [eqn: f(1)=0]이 성립한다고 한다. 이 때, [eqn: f left( { 1} over { 2}right)]의 값은? [4.4점]

⑤

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

아래 그림과 같이 [eqn: 0le x le { pi} over {2 }]에서 두 곡선 [eqn: y=cosx], [eqn: y=sinx] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_1], 두 곡선 [eqn: y=cosx], [eqn: y=sinx] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_2]라고 하자. 이 때, [eqn: S_2 -S_1]의 값은? [4.4점]

④

① [eqn: 2- sqrt { 2}]	② [eqn: 2- sqrt { 3}]	③ [eqn: 3- sqrt { 2}]
④ [eqn: 3-2 sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 4- sqrt { 3}]

정적분 [eqn: int_0 ^2 |xe^x -e^x |dx]의 값은? [4.6점]

①

① [eqn: 2e-2]	② [eqn: e-2]	③ [eqn: e^2 -e]
④ [eqn: e ^{2} -2]	⑤ [eqn: e^2 +e]

구간 [eqn: left[0,``` { pi} over {2 }right]]를 [eqn: n]등분하여 양 끝점과 각 분점의 [eqn: x]좌표를 차례대로 [eqn: 0=x_0 ,```x_1 ,```x_2 ,```cdots,```x_n = { pi} over {2 }]라 하자. 함수 [eqn: f(x)=x+sinx]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.7점]

④

ㄱ. [eqn: a in left(0,``` { pi} over { 2}right)]에 대하여 [eqn: f`'(a)>0], [eqn: f`''(a)<0]

ㄴ. [eqn: { 1} over { n}sum_k=0 ^n-1 f(x_k )ge { 1} over {n }sum_k=1 ^n f(x_k )]

ㄷ. [eqn: {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f(x _{k} ) ge { 1} over { 2n}sum_k=1 ^n left{f(x_k-1 )+f(x_k ) right}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: (0,```k)]에서 곡선 [eqn: y=e^x (x^2 +x)]에 그은 접선의 개수가 오직 한 개일 때, [eqn: k]의 최댓값은? [4.8점]

②

① [eqn: 16overe^4]	② [eqn: {32} over {e ^{4}}]	③ [eqn: {16} over {e ^{2}}]
④ [eqn: {32} over {e ^{2}}]	⑤ [eqn: {16} over {e}]

서술형

함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+lnx]는 [eqn: x=1]에서 극대이고, 곡선
[eqn: y=f(x)]의 변곡점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 2]일 때, 극솟값을 구하시오. [6.0점]

[eqn: 2ln2-3]

아래 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: a]인 원의 지름 [eqn: rmAB]에 수직인 현을 한 변으로 하는 정삼각형이 지름 [eqn: rmAB]와 수직인 상태로 점 [eqn: rmA]에서 점 [eqn: rmB]까지 움직일 때 생기는 입체도형의 부피를 구하는 과정이다. [총 8.0점]

(1) [eqn: sqrt { 3}(a^2 -x^2 )]

(2) [eqn: { 4 sqrt { 3} } over {3 }a^3]

(1) 원의 중심에서의 거리가 [eqn: x]만큼 떨어졌을 때의

삼각형의 넓이를 구하시오. [4.0점]

(2) 입체도형의 부피를 구하시오. [4.0점]

방정식 [eqn: 2x ^{2} =ke ^{x-2}]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 상수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하시오. [8.0점]

[eqn: 0<k<8]

다음 물음에 답하시오. [총 8.0점]

(1) [eqn: sinx= {2t} over {1+t ^{2}}], [eqn: cosx= { 1-t^2} over {1+t^2 }], [eqn: {dx} over {dt} = {2} over {1+t ^{2}}]

(2) [eqn: ln left(1+tan { x} over {2 } right)+C]

(1) [eqn: tan {x} over {2} =t]라 할 때, [eqn: sinx], [eqn: cosx], [eqn: {dx} over {dt}]를 [eqn: t]에 관한 식으로

각각 나타내시오. [6.0점]

(2) [eqn: tan {x} over {2} =t]로 놓고 치환적분을 이용하여

[eqn: int {1} over {sinx+cosx+1} dx]를 구하시오. [2.0점]

[2016년 덕이고]

[2학년(이과) 2학기 기말 미적분2]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com